martes, 1 de mayo de 2012
Sumatoria de Fourier
Hablando de periodo y frecuencia fundamentales.
si una funcion X(t) periodica variable en t (puede ser el tiempo o no). Se puede definir su periodo fundamental To, que se asume que es positivo, tal que para todo t, X(t)=X(t+To), y si hay algun T positivo tal que para todo t se cumple X(t)=X(t+T), entonces T>=To. es una demostracion que entonces T/To es un entero positivo. la frecuencia fundamental fo es el inverso del periodo fundamental, fo=1/To.
la funcion constante es periodica con cualquier periodo, pero no tiene un periodo fundamental, ya que sus periodos son el conjunto de los reales positivos, que no posee minimo.
Ahora sobre la serie exponencial de Fourier
todas la exponenciales imaginarias que su exponente es una constante imaginaria multiplicado por t, tienen un periodo To que es el periodo fundamental o tal vez no, son de la forma exp(i2(pi)n(fo)+t),
con n un numero entero cualquiera, siendo i la unidad imaginaria. Esto se comprueba observando que, para que exp(i&t) sea periodica de periodo To ha de ser.
exp(i&t)=exp(i&(t+To))=exp(i&t)exp(i&To).
aqui se deduce que &To he de ser necesariamente un multiplo entero de 2pi. Asi las cosas podria ser interesante expresar cualquer funcion periodica de periodo To como una combinacion lineal de exponenciales imaginarias se le denomina expancion en serie exponencial de Fourier.
Hablando de los coeficientes desarrollo en serie de Fourier
Suponiendo que la funcion con frecuencia fundamental fo se puede escribir como:
los Cn coeficientes de desarrollo en serie de exponencial de Fourier de x(t), o simplemente coeficientes de Fourier de x(t) . se podria decir, para las funciones complejas de variable t, periodicas con periodo To (sea este su periodo fundamental), una operacion que tiene las propiedades de producto escalar.
la integral se realiza sobre un intervalo de longitud igual al periodo de fundamental, y el asterisco indica conjugacion compleja . Las funciones exp(i2(pi)*n(fo)*t) son ortogonales con respecto a este producto escalar, es decir,
el simbolo delta de kronecker, que es igual a 1 si n=m, y njulo en caso contrario. esto garantiza, por ejemplo, que si una funcion se puede expresar de dos formas como serie exponencial de Fourier, los coeficientes de ambas series son identicos uno a uno. Entonces:
es decir, los coeficientes del desarrollo en serie de Fourier serian el resultado de "proyectar" la funcion de x(t) sobre los "vectores" exp(i2(pi)n*(fo)*t). estos vectores formarian un conjuto linealmente independiente ortonormado.
Hablando de periodo y frecuencia fundamentales.
si una funcion X(t) periodica variable en t (puede ser el tiempo o no). Se puede definir su periodo fundamental To, que se asume que es positivo, tal que para todo t, X(t)=X(t+To), y si hay algun T positivo tal que para todo t se cumple X(t)=X(t+T), entonces T>=To. es una demostracion que entonces T/To es un entero positivo. la frecuencia fundamental fo es el inverso del periodo fundamental, fo=1/To.
la funcion constante es periodica con cualquier periodo, pero no tiene un periodo fundamental, ya que sus periodos son el conjunto de los reales positivos, que no posee minimo.
Ahora sobre la serie exponencial de Fourier
todas la exponenciales imaginarias que su exponente es una constante imaginaria multiplicado por t, tienen un periodo To que es el periodo fundamental o tal vez no, son de la forma exp(i2(pi)n(fo)+t),
con n un numero entero cualquiera, siendo i la unidad imaginaria. Esto se comprueba observando que, para que exp(i&t) sea periodica de periodo To ha de ser.
exp(i&t)=exp(i&(t+To))=exp(i&t)exp(i&To).
aqui se deduce que &To he de ser necesariamente un multiplo entero de 2pi. Asi las cosas podria ser interesante expresar cualquer funcion periodica de periodo To como una combinacion lineal de exponenciales imaginarias se le denomina expancion en serie exponencial de Fourier.
Hablando de los coeficientes desarrollo en serie de Fourier
Suponiendo que la funcion con frecuencia fundamental fo se puede escribir como:
los Cn coeficientes de desarrollo en serie de exponencial de Fourier de x(t), o simplemente coeficientes de Fourier de x(t) . se podria decir, para las funciones complejas de variable t, periodicas con periodo To (sea este su periodo fundamental), una operacion que tiene las propiedades de producto escalar.
la integral se realiza sobre un intervalo de longitud igual al periodo de fundamental, y el asterisco indica conjugacion compleja . Las funciones exp(i2(pi)*n(fo)*t) son ortogonales con respecto a este producto escalar, es decir,
el simbolo delta de kronecker, que es igual a 1 si n=m, y njulo en caso contrario. esto garantiza, por ejemplo, que si una funcion se puede expresar de dos formas como serie exponencial de Fourier, los coeficientes de ambas series son identicos uno a uno. Entonces:
es decir, los coeficientes del desarrollo en serie de Fourier serian el resultado de "proyectar" la funcion de x(t) sobre los "vectores" exp(i2(pi)n*(fo)*t). estos vectores formarian un conjuto linealmente independiente ortonormado.
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