domingo, 13 de mayo de 2012
SEÑALES DISCRETAS Y SEÑALES CONTINUAS
Señales Continuas Vs Señales Discretas
Una señal discreta es una señal discontinua que está definida para todos los puntos de un intervalo determinado del conjunto de los números enteros. Su importancia en la tecnología es que, los computadores y microchips que son utilizados en este nuevo mundo "Digital" en el que vivimos, sólo manejan señales discretas. Una señal discreta en la naturaleza podría ser el pulso cardíaco, el rebotar de una pelota al caer libremente, etc.
Si para todos los valores de una variable existe un valor, estamos hablando de una señal continua.
Figura 1
Consideremos por ejemplo:
el cambio de temperatura a lo largo del día, observaremos que por la mañana temprano está baja y va subiendo hasta cierta hora a partir de la cual comienza a descender nuevamente, durante este proceso, el cambio se produce de manera continua lo que significa que no hay saltos, es decir, si la temperatura pasa de 20ºC a 21ºC no lo hará de un salto sino que deberá pasar por todos los valores intermedios (20,1ºC; 20,2ºC; 20,29ºC; etc.). Si graficamos la variación de temperatura a lo largo del día tenderemos una línea continua como en la primera figura.
figura 2
Supongamos ahora que registramos la cantidad de gente presente dentro de un supermercado a lo largo del día, en este caso el cambio de un valor a otro puede darse en un solo paso sin pasar por valores intermedios, esto es porque nuestra variable no puede tomar tales valores intermedios, es decir, en el local podrá haber, en un momento dado, 20 o 21 personas pero nunca 20,5 personas, es más, en un momento dado podrían ingresar simultáneamente 3 personas y el numero saltar en esa cantidad, pasando de 50 a 53 en el mismo momento. Cuando tenemos una variable que cambia de a salto decimos que la misma es discreta, si graficamos este tipo de variable obtendremos algo como lo que se muestra en la figura 2.
Una señal continua es una señal "suave" que está definida para todos los puntos de un intervalo determinado del conjunto de los números reales.
Las variables presentes en la naturaleza, aquellas con las que tratamos habitualmente, son siempre continuas: el cambio en la intensidad luminosa a lo largo del día, la variación de la posición de un móvil, modificaciones en la presión atmosférica, la humedad o el nivel de audio, se producen siempre de manera tal que entre un valor y otro siempre hay uno intermedio. Aún cambios que podrían parecer súbitos a la primera impresión, como cuando encendemos la luz en una habitación, se producen de manera continua, un salto discreto implicaría que la intensidad luminosa pasara de la oscuridad a plena luz instantáneamente y la naturaleza no permite los cambios instantáneos, todo cambio requiere un tiempo y durante ese tiempo la variable pasa por todos los valores intermedios.
TRANSFORMACION BASICA DE FOURIER
las transformadas de fourier son:
demostración por medio de código de Matlab de la función numero 12:
clc
clear all
format long
x=[-20:0.05:20];
A=1
t=1
FX=A*t*(sinc((x*t)/2));
X1=FX/((x*t)/2);
subplot(2,2,1)
plot(x,FX)
grid on
title('grafica de de funcion Ω (omega)(cuando τ=1 (tao)')
xlabel('Ω (omega)')
ylabel('funcion Ω (omega)')
%%FUNCION CUANDO τ=5 (tao)
t=5
FX=A*t*(sinc((x*t)/2));
X=FX/((x*t)/2);
subplot(2,2,2)
plot(x,FX)
grid on
title('grafica de funcion Ω (omega)(cuando τ=5 (tao)')
xlabel('Ω (omega)')
ylabel('funcion Ω (omega)')
%%FUNCION CUANDO τ=10 (tao)
t=10
FX=A*t*(sinc((x*t)/2));
X=FX/((x*t)/2);
subplot(2,2,3)
plot(x,FX)
grid on
title('grafica de funcion Ω (omega)(cuando τ=10 (tao)')
xlabel('Ω (omega)')
ylabel('funcion Ω (omega)')
%%FUNCION CUANDO τ=60 (tao)
t=60
FX=A*t*(sinc((x*t)/2));
X=FX/((x*t)/2);
subplot(2,2,4)
plot(x,FX)
grid on
title('grafica de funcion Ω (omega)(cuando τ=60 (tao)')
xlabel('Ω (omega)')
ylabel('funcion Ω (omega)')
martes, 1 de mayo de 2012
Sumatoria de Fourier
Hablando de periodo y frecuencia fundamentales.
si una funcion X(t) periodica variable en t (puede ser el tiempo o no). Se puede definir su periodo fundamental To, que se asume que es positivo, tal que para todo t, X(t)=X(t+To), y si hay algun T positivo tal que para todo t se cumple X(t)=X(t+T), entonces T>=To. es una demostracion que entonces T/To es un entero positivo. la frecuencia fundamental fo es el inverso del periodo fundamental, fo=1/To.
la funcion constante es periodica con cualquier periodo, pero no tiene un periodo fundamental, ya que sus periodos son el conjunto de los reales positivos, que no posee minimo.
Ahora sobre la serie exponencial de Fourier
todas la exponenciales imaginarias que su exponente es una constante imaginaria multiplicado por t, tienen un periodo To que es el periodo fundamental o tal vez no, son de la forma exp(i2(pi)n(fo)+t),
con n un numero entero cualquiera, siendo i la unidad imaginaria. Esto se comprueba observando que, para que exp(i&t) sea periodica de periodo To ha de ser.
exp(i&t)=exp(i&(t+To))=exp(i&t)exp(i&To).
aqui se deduce que &To he de ser necesariamente un multiplo entero de 2pi. Asi las cosas podria ser interesante expresar cualquer funcion periodica de periodo To como una combinacion lineal de exponenciales imaginarias se le denomina expancion en serie exponencial de Fourier.
Hablando de los coeficientes desarrollo en serie de Fourier
Suponiendo que la funcion con frecuencia fundamental fo se puede escribir como:
los Cn coeficientes de desarrollo en serie de exponencial de Fourier de x(t), o simplemente coeficientes de Fourier de x(t) . se podria decir, para las funciones complejas de variable t, periodicas con periodo To (sea este su periodo fundamental), una operacion que tiene las propiedades de producto escalar.
la integral se realiza sobre un intervalo de longitud igual al periodo de fundamental, y el asterisco indica conjugacion compleja . Las funciones exp(i2(pi)*n(fo)*t) son ortogonales con respecto a este producto escalar, es decir,
el simbolo delta de kronecker, que es igual a 1 si n=m, y njulo en caso contrario. esto garantiza, por ejemplo, que si una funcion se puede expresar de dos formas como serie exponencial de Fourier, los coeficientes de ambas series son identicos uno a uno. Entonces:
es decir, los coeficientes del desarrollo en serie de Fourier serian el resultado de "proyectar" la funcion de x(t) sobre los "vectores" exp(i2(pi)n*(fo)*t). estos vectores formarian un conjuto linealmente independiente ortonormado.
Hablando de periodo y frecuencia fundamentales.
si una funcion X(t) periodica variable en t (puede ser el tiempo o no). Se puede definir su periodo fundamental To, que se asume que es positivo, tal que para todo t, X(t)=X(t+To), y si hay algun T positivo tal que para todo t se cumple X(t)=X(t+T), entonces T>=To. es una demostracion que entonces T/To es un entero positivo. la frecuencia fundamental fo es el inverso del periodo fundamental, fo=1/To.
la funcion constante es periodica con cualquier periodo, pero no tiene un periodo fundamental, ya que sus periodos son el conjunto de los reales positivos, que no posee minimo.
Ahora sobre la serie exponencial de Fourier
todas la exponenciales imaginarias que su exponente es una constante imaginaria multiplicado por t, tienen un periodo To que es el periodo fundamental o tal vez no, son de la forma exp(i2(pi)n(fo)+t),
con n un numero entero cualquiera, siendo i la unidad imaginaria. Esto se comprueba observando que, para que exp(i&t) sea periodica de periodo To ha de ser.
exp(i&t)=exp(i&(t+To))=exp(i&t)exp(i&To).
aqui se deduce que &To he de ser necesariamente un multiplo entero de 2pi. Asi las cosas podria ser interesante expresar cualquer funcion periodica de periodo To como una combinacion lineal de exponenciales imaginarias se le denomina expancion en serie exponencial de Fourier.
Hablando de los coeficientes desarrollo en serie de Fourier
Suponiendo que la funcion con frecuencia fundamental fo se puede escribir como:
los Cn coeficientes de desarrollo en serie de exponencial de Fourier de x(t), o simplemente coeficientes de Fourier de x(t) . se podria decir, para las funciones complejas de variable t, periodicas con periodo To (sea este su periodo fundamental), una operacion que tiene las propiedades de producto escalar.
la integral se realiza sobre un intervalo de longitud igual al periodo de fundamental, y el asterisco indica conjugacion compleja . Las funciones exp(i2(pi)*n(fo)*t) son ortogonales con respecto a este producto escalar, es decir,
el simbolo delta de kronecker, que es igual a 1 si n=m, y njulo en caso contrario. esto garantiza, por ejemplo, que si una funcion se puede expresar de dos formas como serie exponencial de Fourier, los coeficientes de ambas series son identicos uno a uno. Entonces:
es decir, los coeficientes del desarrollo en serie de Fourier serian el resultado de "proyectar" la funcion de x(t) sobre los "vectores" exp(i2(pi)n*(fo)*t). estos vectores formarian un conjuto linealmente independiente ortonormado.
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